SceneKitのクォータニオンをMMDのオイラー角に変換する / magicien　

JSceneKitを実装するときに、オイラー角とクォータニオンを相互変換する式を計算したのだけれど、今回はSceneKitのクォータニオンをMMDのオイラー角に変換する必要があった。
が、前回使った計算式はどこかに行ってしまったので、再計算しなければならなかった。今回は途中式を記録に残しておく。

前提

• orientation（クォータニオン）からeulerAngles（オイラー角）を直接計算するのではなく、orientation→rotation、rotation→eulerAnglesの二段階の変換をする。
• orientationとrotationの変換は簡単なので省略。計算式は以前書いたSceneKitの系を参照のこと。
• 今回は回転だけ気にするので、3x3行列で計算する。

計算に使う行列

SCNNode.rotation (Rx, Ry, Rz, Rw) に対応するtransform：
※rotationのxyz軸は大きさ1に正規化される。
\( rotation = (R_x, R_y, R_z, R_w) \\ \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} R_x^2 (1-\cos R_w) + \cos R_w & R_xR_y(1-\cos R_w) + R_z\sin R_w & R_xR_z(1-\cos R_w) - R_y\sin R_w \\ R_yR_x(1-\cos R_w) - R_z\sin R_w & R_y^2(1-\cos R_w) + \cos R_w & R_yR_z(1-\cos R_w) + R_x\sin R_w \\ R_zR_x(1-\cos R_w) + R_y\sin R_w & R_zR_y(1-\cos R_w) - R_x\sin R_w & R_z^2 (1-\cos R_w) + \cos R_w \end{array} \right) \tag{1} \)

SCNNode.eulerAngles (Ex, 0, 0) に対応するtransform：
\( eulerAngles = (E_x, 0, 0) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos E_x & \sin E_x \\ 0 & -\sin E_x & \cos E_x \end{array} \right) \tag{2} \)

SCNNode.eulerAngles (0, Ey, 0) に対応するtransform：
\( eulerAngles = (0, E_y, 0) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos E_y & 0 & -\sin E_y \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin E_y & 0 & \cos E_y \end{array} \right) \tag{3} \)

SCNNode.eulerAngles (0, 0, Ez) に対応するtransform：
\( eulerAngles = (0, 0, E_z) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos E_z & \sin E_z & 0 \\ -\sin E_z & \cos E_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \tag{4} \)

eulerAnglesのxyz回転を全て指定した場合は、SceneKitの場合、Z軸・Y軸・X軸の順番で回転する。回転行列は左側から掛けるので、次のようになる（この式は使わないけど、補足として）。
\( eulerAngles = (E_x, E_y, E_z) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos E_x & \sin E_x \\ 0 & -\sin E_x & \cos E_x \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos E_y & 0 & -\sin E_y \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin E_y & 0 & \cos E_y \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos E_z & \sin E_z & 0 \\ -\sin E_z & \cos E_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \tag{5} \)

MMDのカメラモーション（vmd）のオイラー角をSceneKitで再現する場合は、Z軸・-X軸・-Y軸の順で回転する必要がある。よって、回転行列は次のようになる。
\( MMDeulerAngles = (E'_x, E'_y, E'_z) \\ \Rightarrow eulerAngles(0, -E'_y, 0) \times eulerAngles(-E'_x, 0, 0) \times eulerAngles(0, 0, E'_z) \\ = \left( \begin{array}{ccc} \cos E'_y & 0 & \sin E'_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin E'_y & 0 & \cos E'_y \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos E'_x & -\sin E'_x \\ 0 & \sin E'_x & \cos E'_x \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos E'_z & \sin E'_z & 0 \\ -\sin E'_z & \cos E'_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{ccc} \cos E'_y \cos E'_z - \sin E'_x \sin E'_y \sin E'_z & \cos E'_y \sin E'_z + \sin E'_x \sin E'_y \cos E'_z & \cos E'_x \sin E'_y \\ - \cos E'_x \sin E'_z & \cos E'_x \cos E'_z & - \sin E'_x \\ - \sin E'_y \cos E'_z - \sin E'_x \cos E'_y \sin E'_z & - \sin E'_y \sin E'_z + \sin E'_x \cos E'_y \cos E'_z & \cos E'_x \cos E'_y \end{array} \right) \tag{6} \)

SceneKitのrotationをMMDのeulerAnglesに変換

rotation(Rx, Ry, Rz, Rw) から MMDeulerAngles(E'x, E'y, E'z) を求める。
rotationとMMDeulerAnglesの回転行列を一致させてあげれば良いので、(1) = (6)より、
\( \left( \begin{array}{ccc} R_x^2 (1-\cos R_w) + \cos w & R_xR_y(1-\cos R_w) + R_z\sin R_w & R_xR_z(1-\cos R_w) - R_y\sin R_w \\ R_yR_x(1-\cos R_w) - R_z\sin w & R_y^2(1-\cos R_w) + \cos R_w & R_yR_z(1-\cos R_w) + R_x\sin R_w \\ R_zR_x(1-\cos R_w) + R_y\sin w & R_zR_y(1-\cos R_w) - R_x\sin R_w & R_z^2 (1-\cos R_w) + \cos R_w \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{ccc} \cos E'_y \cos E'_z - \sin E'_x \sin E'_y \sin E'_z & \cos E'_y \sin E'_z + \sin E'_x \sin E'_y \cos E'_z & \cos E'_x \sin E'_y \\ - \cos E'_x \sin E'_z & \cos E'_x \cos E'_z & - \sin E'_x \\ - \sin E'_y \cos E'_z - \sin E'_x \cos E'_y \sin E'_z & - \sin E'_y \sin E'_z + \sin E'_x \cos E'_y \cos E'_z & \cos E'_x \cos E'_y \end{array} \right) \tag{7} \) で、E'x、E'y、E'zをRx、Ry、Rz、Rwで表せれば良いという寸法。


まずは E'x から。(7)の両辺の 2行3列目を取ると、
\( R_yR_z(1-\cos R_w) + R_x\sin R_w = - \sin E'_x \tag{8} \)
よって、
\( E'_x = \arcsin{(- R_yR_z(1-\cos R_w) - R_x\sin R_w)} \tag{9} \)

次は E'y。(7)の 1行3列目 / 3行3列目 を計算すると、
\( \frac{ R_xR_z(1-\cos R_w) - R_y\sin R_w }{ R_z^2 (1-\cos R_w) + \cos R_w } = \frac{ \cos E'_x \sin E'_y }{ \cos E'_x \cos E'_y } \tag{10} \)
よって、
\( E'_y = \arctan \frac{ R_xR_z(1-\cos R_w) - R_y\sin R_w }{ R_z^2 (1-\cos R_w) + \cos R_w } \tag{11} \)

最後に E'z。(7)の 2行1列目 / 2行2列目 を計算すると、
\( \frac{ R_yR_x(1-\cos R_w) - R_z\sin R_w }{ R_y^2(1-\cos R_w) + \cos R_w } = \frac{ - \cos E'_x \sin E'_z }{ \cos E'_x \cos E'_z } \tag{12} \) よって、
\( E'_z = \arctan \left( - \frac{ R_yR_x(1-\cos R_w) - R_z\sin R_w }{ R_y^2(1-\cos R_w) + \cos R_w } \right) \tag{13} \)

これでMMDのオイラー角が全て求められた。ちなみに、E'x が直角だと、cosE'x が 0 になり、(10)、(12)の右辺分母が0になってしまう。ので、別の方法で計算しないといけない（計算方法を忘れたので続きはまた今度）。
E'xが直角だと何が起こるかというと、 Z軸・-X軸・-Y軸の順で回転させた結果、X軸回転後にY軸がもともとZ軸があった場所に来てしまう。Y軸を回してもZ軸を回しても結果は同じ、ということで答えが一意に定まらなくなる。